koussay question posée dans Sciences et mathématiquesMathématiques · Il y a 2 mois

Est-ce que c'est connu auparavant ?

Chaque suite d'ntieres de la forme a*n + b contient une infinité des carrées completes

une carrve complete comme 1 4 9 16 25 100 ....etc

Mettre à jour:

@ Voire une infinity des cubs completes ainsi, comme 1   8   27   1000 ...etc

Et en generale contient une infinity des nombres montante par K comme : 2^k , 3*k , 7^k ...etc

4 réponses

Évaluation
  • oyubir
    Lv 6
    Il y a 2 mois

    Tel quel, c'est faux.

    Si a=0, c'est mal barré déjà, on s'en doute.

    Mais si a=10, par exemple, on peut construire des tas de contre exemples.

    Par exemple, 10n+3 ne contient pas de carrés (il n'y a pas de carrés qui terminent par 3)

    De façon générale, si vous considérez un nombre xk+y, alors (xk+y)^2 = x^2k^2 + y ^2 + 2yxk = y^2 + k*[x^2k + 2yx]

    En d'autres termes, si un nombre est égal à y modulo x (s'il s'écrit xk+y) alors son carré est égal à y^2 modulo k (il s'écrit y^2 + k*truc)

    Et il y a donc des k pour lesquels les y2 ne couvrent pas tous les nombres possibles.

    Pour k=2, pas de pb (0^2=0, 1^2=1)

    Pour k=3, on est coincé (0^2=0, 1^2=1, 2^2=4=1[3]). Tout nombre s'écrivant 3x+2 ne peut pas être un carré.

    Pour k=4, (0^2=0, 1^2=1, 2^2=0[4], 3^2=1[4]), pareil. 4x+2 et 4x+3 ne sont jamais des carrés (dans le cas de 4x+2, ça se voit d'une autre façon évidente : 4x+2 est multiple de 2, mais pas de 4. Or un carré multiple de 2 doit être multiple de 4)

    Pour k=5 (0^2=0, 1^2=1, 2^2=4, 3^2=4[5], 4^2=1[5]). Donc 5x+2 et 5x+3 ne sont jamais des carrés.

    En fait, mis à part 2, il n'y a aucun k pour lequel on couvrira tout.

    Pourquoi : parce que (kx+1)^2 = 1[k]

    Et (kx-1)^2 = 1[k] aussi

    (idem pour kx+2 et kx-2, etc).

    Donc, sur les k valeurs possibles d'un nombre modulo k, il y en a au moins 2 qui ont le même carré. Donc, forcément, puisqu'il n'y a que k carrés possibles modulo k, c'est qu'il y a des carrés impossibles

    Sauf dans le cas particulier ou kx+1 et kx-1 sont déjà le même nombre, modulu k. Cad quand k=2.

    Donc, quoi qu'il arrive, pour tout a>2, il existe des b pour lesquels ax+b ne contient aucun carré

    (en revanche, le même raisonnement montre que si on trouve un carré, alors on en trouve une infinité. C'est tout ou rien. Soit il y en a aucun, soit il y en a une infinité)

    • Kishi-Duo-Dumas
      Lv 5
      Il y a 2 moisSignaler

      Belle démonstration (donc, ça marche pour la moitié de l'infinité de ces suites, et un peu mieux si on limite les valeurs possibles de a, ce qui n'est pas si mal).

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  • Il y a 2 mois

    oui c'est déjà connu. Il s'agit des nombres figurés : nombres carrés, cubiques etc...

    • oyubir
      Lv 6
      Il y a 2 moisSignaler

      J'ai beaucoup de mal à voir le rapport avec les nombres figurés. Si ce n'est que les carrés, cubes, etc. en sont. Mais ce n'est pas la question.

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  • Il y a 2 mois

    COrrectiOn:

    Chaque suite d'ntieres de la forme a*n + b   contient une infinité des carrées completesune carrée complete comme 1  4  9  16  25  100 ....etc

    En dait j'ai posé cett questO en depechant, selon vous, est-ce que l'on doit mettre quelques conditions supplementaires sur les coéfficients a , et b ?

  • Anonyme
    Il y a 2 mois

    ouhlala ouioui                

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